Multiplicación

Leyes de la Multiplicación

En álgebra la multiplicación tiene el fin de obtener una cantidad llamada “Producto” por medio de dos cantidades llamadas “Multiplicando” y “Multiplicador”. El Multiplicando y Multiplicador son llamados Factores del producto.

El orden de los factores no altera el producto, esta propiedad se cumple de igual forma en Álgebra como en la Aritmética. Por lo cual el producto xy puede escribirse como yx, y esto no afectara nuestro resultado, esto se conoce como la Ley Conmutativa de la Multiplicación.

Los Factores de un Producto pueden agruparse de cualquier modo, por lo tanto en el producto xyz, tenemos:

xyz = (x) (yz) = (xy) (z)

Esta se conoce como La Ley Asociativa de la Multiplicación.

Antes de conocer el método de multiplicación debemos de conocer algunas leyes indispensables.

Ley de los Signos

1)      Signo del producto de dos factores. En este primer caso la regla es:

Signos iguales dan + y signos diferentes dan –

Por lo tanto:

1.       (+x) (+y) = +xy

En esta multiplicación ambos factores tienen signos iguales positivos, por lo tanto el producto tendrá signo positivo “+”.

2.       (-x) (+y) = -xy

En esta otra multiplicación los factores difieren en sus signos, uno es positivo y el otro negativo, por lo tanto el producto tendrá signo negativo “-”.

3.      (+x) (-y) = +xy

Como en el anterior ejemplo los signos difieren, por lo que el producto tendrá signo negativo “-”.

4.      (+-x) (-y) = -xy

En este ejemplo aunque ambos factores cuenten con signos negativos son signos iguales, por lo tanto el producto contara con signo positivo “+”.

De los cuatros ejemplos anteriores podemos resumir que:

+	Por	+	Da	+
-	Por	-	Da	+
+	Por	-	Da	-
-	Por	+	Da	-

2)      Signo del Producto de mas de dos factores. En este segundo caso la regla es:

1.       El signo del producto de más de dos factores será positivo “+” cuando cuente con un numero par de factores negativos o ninguno.

Por lo tanto:

(-a) (-b) (-c) (-d) = abcd (cuenta con numero par de factores negativos).

(-a) (+b) (-c) (-d) (-e) = abcde (cuenta con numero par de factores negativos).

Como se dijo anteriormente el signo del producto de dos factores con signos iguales será positivo “+”, entonces:

(-a) (-b) (-c) (-d) = [(-a) (-b)]  [(-c) (-d)] = (+ab) (+cd) = abcd

2.       El signo del producto de mas de dos factores es negativo “-” cuando cuente con un número impar de factores negativos.

Por lo tanto:

(-a) (-b) (-c) = -abc

  

Puesto que:

(-a) (-b) (-c) = [(-a) (-b)] (-c) = (+ab) (-c) = -abc

Ley de los exponentes

Para multiplicar potencias que cuenten con la misma base se escribe la misma base y se le asigna como exponente la suma de los exponentes de los factores.

Por lo tanto:

(x⁵) (x³) (x²) = x⁵⁺³⁺²  = x¹⁰

Ley de los coeficientes

El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de los factores.

Por lo tanto:

 (5x) (3y) = 15xy.