Multiplicación de Polinomios por Monomios

Sea el producto (x + y) z.

Multiplicar (x + y) por z es igual a sumar la suma (x + y) un número z de veces, así nos queda:

                (x + y) z = (x + y) + (x + y) + (x + y) + (x + y) + (x + y) .… “el numero que represente z”

                                               = (x + x + x + x …….. “z veces”) + (b + b + b + b …….. “z veces”)

                                               = xz + yz

Ø  Sea el producto (x – y) z.

Como en el ejemplo anterior tendremos:

                               (x – y) z = (x – y) + (x – y) + (x – y) …… “z veces”

                                               = (a + a + a ….”z veces”) – (b + b + b …”z veces”)

                                               = xz – yz

Entonces se puede concluir con esta regla:

Regla para multiplicar un Polinomio por un Monomio

Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos, y se separan los productos parciales con sus propios signos.

Esta es la Ley Distributiva de la multiplicación.

1)      Multiplicar 5a² – 8x + 15 por 9az

Por lo que tenemos:                (5a² – 8x + 15) (9az) = 5a² (9az) – 8x (9az) + 15 (9az)

                                                                                              = 45a³z – 72axz + 135az

La operación suele colocarse así:                 

5a2	–	8x	+	15
9az
45a3z	–	72axz	+	135az

2)      Multiplicar x⁴y – 7x⁴y⁴ + 3xy³ + y⁴ por -8xy⁷

	x4y	–	7x4y4	+	3xy3	+	y4
–	8xy7
–	8x5y8	+	56x5y11	–	24x2y10	–	8xy11

Multiplicación de Monomios

Para encontrar el producto se multiplican los coeficientes y seguido de este resultado se escriben las literales los factores en orden alfabético, pondremos el exponente de acuerdo a la suma de los exponentes que tengan en los factores.

Ejemplos:

1.       Multiplicar 5x⁴ por 3x².

(5x⁴) (3x²) = (5) (3) (x⁴⁺²) = 15x⁶                       (+ por + da +)

2.       Multiplicar –ab⁴y por 17ab²x.

(–ab⁴y) (17ab²x) = –17a²b⁶xy                              (– por + da –)

3.      Multiplicar –ab² por -7a⁷bx.

(–ab²) (–7a⁷bx) = 7a⁸b³x                                      (– por – da +)

4.      Multiplicar –xy⁸ por 7x^ay^cz^b

(–xy⁸) (7x^ay^cz^b) = –7x^a+1y^c+8z^b

5.      Multiplicar x^a+1y^b+4 por x^4a+4y^7b+4

(x^a+1y^b+4) (x^4a+4y^7b+4) = x^5a+5y<sup>8b+8


Nota: Un producto continuado es la multiplicación de mas de dos monomios</sup>

Multiplicación

Leyes de la Multiplicación

En álgebra la multiplicación tiene el fin de obtener una cantidad llamada “Producto” por medio de dos cantidades llamadas “Multiplicando” y “Multiplicador”. El Multiplicando y Multiplicador son llamados Factores del producto.

El orden de los factores no altera el producto, esta propiedad se cumple de igual forma en Álgebra como en la Aritmética. Por lo cual el producto xy puede escribirse como yx, y esto no afectara nuestro resultado, esto se conoce como la Ley Conmutativa de la Multiplicación.

Los Factores de un Producto pueden agruparse de cualquier modo, por lo tanto en el producto xyz, tenemos:

xyz = (x) (yz) = (xy) (z)

Esta se conoce como La Ley Asociativa de la Multiplicación.

Antes de conocer el método de multiplicación debemos de conocer algunas leyes indispensables.

Ley de los Signos

1)      Signo del producto de dos factores. En este primer caso la regla es:

Signos iguales dan + y signos diferentes dan –

Por lo tanto:

1.       (+x) (+y) = +xy

En esta multiplicación ambos factores tienen signos iguales positivos, por lo tanto el producto tendrá signo positivo “+”.

2.       (-x) (+y) = -xy

En esta otra multiplicación los factores difieren en sus signos, uno es positivo y el otro negativo, por lo tanto el producto tendrá signo negativo “-”.

3.      (+x) (-y) = +xy

Como en el anterior ejemplo los signos difieren, por lo que el producto tendrá signo negativo “-”.

4.      (+-x) (-y) = -xy

En este ejemplo aunque ambos factores cuenten con signos negativos son signos iguales, por lo tanto el producto contara con signo positivo “+”.

De los cuatros ejemplos anteriores podemos resumir que:

+	Por	+	Da	+
-	Por	-	Da	+
+	Por	-	Da	-
-	Por	+	Da	-

2)      Signo del Producto de mas de dos factores. En este segundo caso la regla es:

1.       El signo del producto de más de dos factores será positivo “+” cuando cuente con un numero par de factores negativos o ninguno.

Por lo tanto:

(-a) (-b) (-c) (-d) = abcd (cuenta con numero par de factores negativos).

(-a) (+b) (-c) (-d) (-e) = abcde (cuenta con numero par de factores negativos).

Como se dijo anteriormente el signo del producto de dos factores con signos iguales será positivo “+”, entonces:

(-a) (-b) (-c) (-d) = [(-a) (-b)]  [(-c) (-d)] = (+ab) (+cd) = abcd

2.       El signo del producto de mas de dos factores es negativo “-” cuando cuente con un número impar de factores negativos.

Por lo tanto:

(-a) (-b) (-c) = -abc

  

Puesto que:

(-a) (-b) (-c) = [(-a) (-b)] (-c) = (+ab) (-c) = -abc

Ley de los exponentes

Para multiplicar potencias que cuenten con la misma base se escribe la misma base y se le asigna como exponente la suma de los exponentes de los factores.

Por lo tanto:

(x⁵) (x³) (x²) = x⁵⁺³⁺²  = x¹⁰

Ley de los coeficientes

El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de los factores.

Por lo tanto:

 (5x) (3y) = 15xy.